Question

【题目】综合与探究

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+2x+3，抛物线W与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，它的顶点为D，直线l经过A、C两点．

（1）求点A、B、C、D的坐标．

（2）将直线l向下平移m个单位，对应的直线为l′．

①若直线l′与x轴的正半轴交于点E，与y轴的正半轴交于点F，△AEF的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

②求m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？

（3）若将抛物线W也向下平移m单位，再向右平移1个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点P落在△AOC的内部（不包括△AOC的边界），请直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点D坐标为（1，4）（2）①S=﹣m2+m（0＜m＜3），②当m=时，S的值最大，最大值为（3）3＜m＜4

【解析】试题分析：（1）令y＝0，求出A，B的横坐标，令x＝0求出C的纵坐标，把二次函数解析式转化为顶点式即可得出D的坐标；

（2）①利用待定系数法确定出直线l的解析式，根据平移得出l′的解析式，求出与坐标轴的交点E，F的坐标，得出AE，OF的长，最后用面积公式即可得出结论；

②借助①的结论确定出最大值；

（3）利用平移后的抛物线的顶点坐标，即可得出结论．

试题解析：

解：（1）当y＝0时，得﹣x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，

∴A，B两点坐标分别为(3，0)，(﹣1，0)，

当x＝0时，得y＝3，

∴点C坐标为(0，3)，

∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴点D坐标为(1，4)，

（2）①设直线l的解析式为y＝kx＋b，

则有，

∴，

∴直线l的解析式为y＝﹣x＋3．

∴直线l′的解析式为y＝﹣x＋3﹣m．

当y＝0时，解得x＝3﹣m，

∴E点坐标为(3﹣m，0)

当x＝0时，解得y＝3﹣m，

∴F点坐标为(0，3﹣m)

∴AE＝3﹣(3﹣m)＝m，OF＝3﹣m．

∴S＝×AE×OF＝m(3﹣m)＝﹣m2＋m(0＜m＜3)，

②∵S＝﹣m2＋m＝﹣(m﹣)2＋

∴当m＝时，S有值最大，最大值为．

（3）∵抛物线W的函数表达式为y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴设平移后的抛物线解析式为y＝﹣(x﹣1﹣1)2＋4﹣m＝﹣(x﹣2)2＋4﹣m，

∴P(2，4﹣m)

∵A(3，0)，C(0，3)，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x＋3，当x＝2时，y＝1，

∵平移后得到的二次函数图象的顶点P落在△AOC的内部，

∴0＜4﹣m＜1，

∴3＜m＜4．