Question

14．如图，动点P沿着半径为1的单位圆绕原点旋转，线段OP在x轴的投影为OA．
（1）写出三角形OAP的面积y与动点P的横坐标x的关系式；
（2）当α等于多少时，y的值最大？
（3）写出y为最大值时，动点P的坐标．
（提示：求y=-2x²+x的最小值，令m=x²，则：y=-2m+m²，当m=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2}{2}$=1时，y_min=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-4}{4}$=-1，此时，x=±1）

Answer 1

分析 （1）设动点P的横坐标为x，则OA=|x|，则利用勾股定理表述计算出PA=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，利用三角形面积公式得到y=$\frac{1}{2}$•|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$（-1≤x≤1）；
（2）利用不等式公式得到|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+（\sqrt{1-{x}^{2}}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，则y≤$\frac{1}{4}$，由于当且仅当|x|=$\sqrt{1-{x}^{2}}$时等号成立，解关于x的方程得到x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时y的值最大，利用特殊角的三角函数值可得OP与x轴的正方向的夹角为45°或135°；
（3）分类讨论：当OP与x轴的正方向的夹角为45°时，易得P点坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；当OP与x轴的正方向的夹角为135°时，易得P点坐标为（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

解答 解：（1）设动点P的横坐标为x，则OA=|x|，
在Rt△OAP中，PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
所以y=$\frac{1}{2}$•|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$（-1≤x≤1）；
（2）∵|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+（\sqrt{1-{x}^{2}}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴y≤$\frac{1}{4}$，
∵当且仅当|x|=$\sqrt{1-{x}^{2}}$时等号成立，
∴x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y的值最大，
此时OP与x轴的正方向的夹角为45°或135°；
即α=45°或135°时，y的值最大；
（3）当OP与x轴的正方向的夹角为45°时，P点坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
当OP与x轴的正方向的夹角为135°时，P点坐标为（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握与圆有关的性质；会利用勾股定理计算相应线段的长；理解坐标与图形性质；会应用不等式公式ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$（a、b为正数，当且仅当a=b时取等号）．