Question

【题目】如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F．

（1）依题意补全图形；

（2）用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明；

（3）连接CE，若AB＝2，请直接写出线段CE长度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF＝DF+BE，证明见解析；（3）CE的最小值为．

【解析】

（1）依题意补全图形；

（2）过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，可证四边形AEFM是矩形，由“AAS”可证△AEB≌△AMD，可得BE＝DM，AE＝AM，可证矩形AEFM是正方形，可得EF＝MF，可得结论；

（3）取AB中点O，连接OC，由勾股定理可求OC＝5，由点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，可得当点E在OC上时，CE有最小值，即可求解．

解：（1）依题意补全图形，如图，

（2）线段EF，DF，BE的数量关系为：EF＝DF+BE，

理由如下：如图，过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，

∵∠M＝∠F＝∠AEF＝90°，

∴四边形AEFM是矩形，

∴∠DAE+∠MAD＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE+∠DAE＝90°，AB＝AD，

∴∠BAE＝∠MAD．

又∵∠AEB＝∠M＝90°，

∴△AEB≌△AMD（AAS）

∴BE＝DM，AE＝AM，

∴矩形AEFM是正方形，

∴EF＝MF，

∵MF＝DF+DM，

∴EF＝DF+BE；

（3）如图，取AB中点O，连接OC，

∵AB＝2

∴OB＝，

∴OC＝＝5，

∵∠AEB＝90°，

∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，

∴当点E在OC上时，CE有最小值，

∴CE的最小值为．