Question

【题目】在正方形中，，点，，分别在边，，上，且垂直.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，平移线段至线段，交于点，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，求的周长；

（3）如图3，若，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段的最小值为______.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）过点作的平行线交于点，交于点，利用直角三角形两锐角互余的关系可得，利用ASA可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；（2）根据阴影部分的面积与正方形的面积之比为可求出空白部分的面积，根据可求出△ABO的面积，设，，可得ab=4，根据勾股定理可得a2+b2=16，即可求出a+b=，进而可求出△ABO的周长；（3）过点作的平行线交于点，过B作BP//HF，交CD于P，可证明四边形是平行四边形，可得，设，分别用a表示出CN和CF的长，根据勾股定理表示出NF的长，利用二次函数的性质求出最小值即可.

（1）如图，过点作的平行线交于点，交于点，

∵四边形ABCD是正方形，点、分别在边、上，

∴BH//GF，，，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵垂直，HF//BG，

∴垂直，

∴，

∵∠ABE=，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴AE=HF.

（2）∵阴影部分的面积与正方形的面积之比为，

∴阴影部分的面积为，

∴空白部分的面积为，

由（1）得，，

∴的面积与四边形的面积相等，

∴S△AOB=，

设，，则，即，

在中，，

∴，

∴，即，

∴，即，

∴的周长=AB+OA+OB=．

（3）过点作的平行线交于点，过B作BP//HF，交CD于P，

∵，

∴，

由（1）得，△ABN≌△BCP，BH=PF，

∴BN=CP，

∵，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

设，则，CP=4-2a，

∴，

∴CN=4-BN=2a，

∴，

∴当时，取得最小值.