Question

【题目】在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．

（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝32°，求∠P的大小；

（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB＝16°，求∠DPA的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∠P＝26°；（Ⅱ）∠DPA＝69°

【解析】

(1)首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥PC，由OA=OC，∠CAB=32°，即可利用三角形外角性质求得∠POC的度数，进而可得到答案；
(2)根据垂径定理的推论可得到OC⊥PC，进而可得到∠AOD=106°，根据圆周角定理得到∠C的度数，利用三角形外角性质得到答案．

解：（Ⅰ）连接OC，如图①，

∵PC为切线，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠CAB＝32°，

∴∠POC＝∠OCA+∠CAB＝64°，

∴∠P＝90°﹣∠POC＝90°﹣64°＝26°；

（Ⅱ）如图②，

∵点E为AC的中点，

∴OD⊥AC，

∴∠OEA＝90°，

∴∠AOD＝∠CAB+∠OEA＝16°+90°＝106°，

∴∠C＝∠AOD＝53°，

∴∠DPA＝∠BAC+∠C＝16°+53°＝69°．