Question

如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABO的底边OA在x轴上，顶点B在反比例函数y=

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x

（x＞0）的图象上，当底边OA上的点A在x轴的正半轴上自左向右移动时，顶点B也随之在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上滑动，但点O始终位于原点．
（1）如图①，若点A的坐标为（6，0），求点B的坐标；
（2）当点A移动到什么位置时，三角形ABO变成等腰直角三角形，请说明理由；
（3）在（2）中，如图②，△PA₁A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y=

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x

（x＞0）的图象上，斜边A₁A在x轴上，求点A₁的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）首先过点B作BC⊥x轴于点C，由等腰三角形的三线合一，可得OC=AC=3，然后由顶点B在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，求得点B的坐标；
（2）首先由等腰直角三角形的性质，可得OC=BC，然后由顶点B在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，求得点B的坐标，继而求得点A的坐标；
（3）首先过点P作PD⊥x轴于点D，易得AD=PD，则可设AD=b，则点P（4

3

+b，b），又由点P在反比例函数y=

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x

（x＞0）的图象上，求得b的值，继而求得答案．

解答：解：（1）如图①，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵OB=AB，
∴OC=AC，点A移动到什么位置时，三角形ABO变成等腰直角三角形，
∵点A的坐标为（6，0），
∴OC=

1

2

OA=3，
∵顶点B在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，
∴y=

12

3

=4，
∴点B的坐标为：（3，4）；

（2）点A移动到（4

3

，0）时，△ABO变成等腰直角三角形．
理由：如图②，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴BC=OC=

1

2

OA，
设点B（a，a），
∵顶点B在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，
∴a=

12

a

，
解得：a=±2

3

（负值舍去），
∴OC=2

3

，
∴OA=2OC=4

3

，
∴点A移动到（4

3

，0）时，△ABO变成等腰直角三角形；

（3）如图②，过点P作PD⊥x轴于点D，
∵△PA₁A是等腰直角三角形，
∴PD=AD，
设AD=b，则点P（4

3

+b，b），
∵点P在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，
∴b=

12

4 3 +b

，
解得：b₁=2

6

-2

3

，b₂=-2

6

-2

3

（舍去），
∴AA₁=2b=4

6

-4

3

，
∴OA₁=OA+AA₁=4

6

，
∴点A₁的坐标为：（4

6

，0）．

点评：此题属于反比例函数综合题，考查了点与图象的关系、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．