Question

8．如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E、O、F，求证：四边形AFCE是菱形．

Answer 1

分析 先根据平行四边形的性质得到OA=OC，AD∥BC，再证明△AOE≌△COF得到OE=OF，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形得到四边形AFCE为平行四边形，接着根据线段垂直平分线的性质得EA=EC，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ECA，
在△AOE和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠FOC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．