Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．点M是AB边上一点，且∠CMB＝45°．点Q是直线AB上一点且在点B的右侧，BQ＝4，点P从点Q出发，沿射线QA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．以P为圆心，PC长为半径作半圆P，交直线AB分别于点G，H(点G在点H的左侧)．

（1）当t＝1秒时，PC的长为　　　　，t＝　　　　秒时，半圆P与AD相切；

（2）当点P与点B重合时，求半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长；

（3）若∠MCP＝15°，请直接写出扇形HPC的弧长为 ．

Answer 1

【答案】（1）；； （2） ； （3）π或π．

【解析】

（1）由点P的运动速度可找出t=1秒时PQ的长，进而可得出BP的长，在Rt△BCP中，利用勾股定理可求出PC的长；设当半圆P与AD相切时，BP=x，则PC=PA=4-x，利用勾股定理可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再结合PQ=BQ+BP即可求出此时t的值；
（2）过点B作BE⊥AC于点E，利用面积法可求出BE的长，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长，再利用垂径定理可求出半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长；
（3）分点P在点M的左侧和点P在点M的右侧两种情况考虑：①当点P在点M的右侧时，∠CPB=60°，通过解直角三角形可求出PC的长，再利用弧长公式得到结论；②当点P在点M的左侧时，∠CPB=30°，通过解直角三角形可求出PC的长，再再利用弧长公式得到结论．

（1）当t=1秒时，PQ=2，
∴BP=BQ-PQ=2，
在Rt△BCP中，BP=2，BC=3，
∴PC=，
设当半圆P与AD相切时，BP=x，则PC=PA=4-x，
∴x2+32=（4-x）2，
解得：x=，
∴PQ=4+=，
∴当t= 时，半圆P与AD相切；
故答案为：；；
（2）过点B作BE⊥AC于点E，如图2所示．

∵AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∴BE=．
在Rt△BCE中，BC=3，BE=，
∴CE=，
∴半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长为 ；
（3）分两种情况考虑，如图3所示：

①当点P在点M的右侧时，∵∠CMB=45°，∠MCP=15°，
∴∠MCB=45°，∠PCB=30°，
∴∠CPB=60°，CP= ，
∴扇形HPC的弧长为 π；
②当点P在点M的左侧时，∵∠MCB=45°，∠MCP=15°，
∴∠PCB=∠MCB+∠MCP=60°，
∴∠CPB=30°，CP==6，
∴扇形HPC的弧长为=π，
综上所述，若∠MCP=15°，扇形HPC的弧长为π或π，
故答案为：π或π．