Question

【题目】综合与实践

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．

操作发现：

（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是　 　．

（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．

实践探究：

（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．

（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是　 　cm．

Answer 1

【答案】(1)菱形；(2)四边形MNDD'是矩形，理由见解析；(3)；(4)

【解析】

操作发现：
（1）由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，BD=CD=8cm，∠BAD=∠CAD，由余角的性质可得∠ADC'=∠BAD，可得AB∥C'D，可证四边形BDC'E是平行四边形，且BD=C'D，可证四边形BEC'D是菱形；
（2）由“ASA”可证△MDB'≌△NDC'，可得DN=MD'，由平移性质可得MD'∥DN，可证四边形MNDD'是平行四边形，且∠BD'M=90°，可证四边形MNDD'是矩形；
实践探究：
（3）由正方形的性质可得D'M∥DN，D'M=D'D=acm，由相似三角形的性质可求解；
（4）过点D作DG⊥AB于点G，通过证明△DQP∽△AQD，可求AQ=AD=6，通过证明△DGA∽△BDA，可得，可求AG的长，即可求解．

解：操作发现：

（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．

∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，

∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，

∴C'D＝BD，

∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，

∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，

∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，

∴∠ADC'＝∠BAD，

∴AB∥C'D，

∴四边形BDC'E是平行四边形，

∵BD＝C'D，

∴四边形BEC'D是菱形，

故答案为：菱形；

（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，

理由如下：

∵BD＝CD，

∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'

∴△MDB'≌△NDC'（ASA）

∴MD'＝ND，

∵△ACD沿DB方向平移，

∴MD'∥DN，

∴四边形MNDD'是平行四边形，

∵∠BD'M＝90°，

∴四边形MNDD'是矩形；

（3）由图形（1）可得AB＝10cm，BD＝8cm，

∴AD＝＝＝6cm，

∵四边形MNDD'为正方形，

∴D'M∥DN，D'M＝D'D＝acm，

∴△BD'M∽△BDA，

∴，

∴，

∴a＝；

（4）如图5，过点D作DG⊥AB于点G，

∵DP＝DQ，

∴∠DQP＝∠DPQ，QG＝PG，

又∵∠A＝∠PDQ，

∴△DQP∽△AQD，

∴∠ADQ＝∠DPQ，

∴∠ADQ＝∠AQD，

∴AQ＝AD＝6，

∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，

∴△DGA∽△BDA，

∴，

∴，

∴AG＝，

∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣＝，

∴PG＝QG＝，

∴AP＝AG﹣PG＝﹣＝，

故答案为：．