Question

10．下表给出了二次函数y=-x²+bx+c中两个变量y与x的一些对应值：

x	…	-2	-1	0	1	2	3	…
y	…	5	n	c	2	-3	-10	…

（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
（2）直接写出抛物线y=-x²+bx+c的顶点坐标和对称轴；
（3）当y＞0时，求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把（-2，5）和（1，2）点代入y=-x²+bx+c可得关于b、c的二元一次方程组，再解方程组可得b、c的值，进而可得解析式，再求当x=-1时，n的值即可；
（2）根据二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标公式进行计算即可；
（3）首先根据解析式计算出与x轴的交点，再根据二次函数开口方向和y的取值范围确定自变量x的取值范围．

解答 解：（1）根据表格得：$\left\{\begin{array}{l}{-4-2b+c=5}\\{-1+b+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴-x²+bx+c=-x²-2x+5，
把x=-1代入-x²-2x+5=6，
则：n=6；

（2）函数解析式为y=-x²-2x+5，
∵a=-1，b=-2，c=5，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-2}{-2}$=-1，
$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-20-4}{-4}$=6，
∴顶点坐标为（-1，6），对称轴为x=-1；

（3）令y=0，则0=-x²-2x+5，
解得：x₁=-1-$\sqrt{6}$，x₂=-1+$\sqrt{6}$，
抛物线与x轴的交点是（-1-$\sqrt{6}$，0）（-1+$\sqrt{6}$，0），
∵抛物线开口向下，且y＞0，
∴自变量x的取值范围为-1-$\sqrt{6}$＜x＜-1+$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式，掌握二次函数一般式的顶点坐标公式（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）．