Question

5．阅读下列材料，然后回答问题．
先阅读下列第（1）题的解答过程，再解第（2）题．
（1）已知实数a、b满足a²=2-2a，b²=2-2b，且a≠b，求$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的值．
解：由已知得：a²+2a-2=0，b²+2b-2=0，且a≠b，故a、b是方程：x²+2x-2=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得：a+b=-2，ab=-2．∴$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}$
=$\frac{{{{（a+b）}^2}-2ab}}{ab}$=-4
（2）已知p²-2p-5=0，且 p、q为实数，
①若q²-2q-5=0，且p≠q，则：p+q=2，pq=-5；
②若5q²+2q-1=0，且pq≠1，求${p^2}+\frac{1}{q^2}$的值．

Answer 1

分析 ①把p、q看作方程x²-2x-5=0的两根，根据•根与系数的关系得到p+q=2，pq=-5；
②先把5q²+2q-1=0变形为（$\frac{1}{q}$）²-2•$\frac{1}{q}$-5=0，则p、$\frac{1}{q}$可看作方程x²-2x-5=0的两根，根据根与系数关系得到p+$\frac{1}{q}$=2，p•$\frac{1}{q}$=-5，再利用完全平方公式变形得${p^2}+\frac{1}{q^2}$=（p+$\frac{1}{q}$）²-2p•$\frac{1}{q}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：①∵p²-2p-5=0，q²-2q-5=0，p≠q，
∴p、q可看作方程x²-2x-5=0的两根，
∴p+q=2，pq=-5；
故答案为2，-5；
②∵5q²+2q-1=0，
∴（$\frac{1}{q}$）²-2•$\frac{1}{q}$-5=0，
而pq≠1，
∴p、$\frac{1}{q}$可看作方程x²-2x-5=0的两根，
∴p+$\frac{1}{q}$=2，p•$\frac{1}{q}$=-5，
∴${p^2}+\frac{1}{q^2}$=（p+$\frac{1}{q}$）²-2p•$\frac{1}{q}$=2²-2×（-5）=14．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．