Question

已知Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=

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，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设△ABC移动的时间为t（s）．
（1）当△ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值；
（2）若在△ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值；
（3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）先根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=30°，∠ACB=60°，作OD⊥直线BC，则OD=1，当△ABC的边AC与圆第一次相切时，如图1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，根据切线长定理得到∠OC′D=60°，在Rt△ODC′中计算出C′D=

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，然后利用线段之间的关系得到2t+1+

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=5，再解一次方程即可；
（2）如图2，△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，由切线的性质得O′Q=1，则D′B′=1，然后利用线段之间的关系得到5+t+1=2t，再解一次方程即可；
（3）利用直线AC与圆两次相切的时间确定d＜1时，t的范围：当△ABC平移到△A₁B₁C₁的位置，A₁C₁与⊙O相切，d=1，如图3，由（1）得C₁D=

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，则DB₁=DD′-B₁C₁-C₁D′=t-1-

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3

，利用线段之间的关系得5+t-1-

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3

=2t，得到此时t=4-

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；当△ABC平移到△A₂B₂C₂的位置，A₂C₂与⊙O相切，d=1，如图3，作O′H⊥A₂C₂于H，根据切线长定理得到∠O′C₂D′=30°，则C₂D′=

3

O′D′=

3

，利用线段之间的关系得4+t+

3

=2t，得到此时t=4+

3

，于是当d＜1时，t的取值范围为4-

3

3

＜t＜4+

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．

解答：解：（1）∵AB=

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，BC=1，∠ABC=90°，
∴AC=

AB2+BC2

=2，
∴∠A=30°，∠ACB=60°，
作OD⊥直线BC，则OD=1，
当△ABC的边AC与圆第一次相切时，如图1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，则OC′平分∠DC′E，
∵∠A′C′B′=∠ACB=60°，
∴∠OC′D=60°，
在Rt△ODC′中，∵OD=1，∠DOC′=30°，
∴C′D=

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，
∵BB′=2t，B′C′=BC=1，BD=5，
∴2t+1+

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=5，
∴t=2-

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6

；
（2）如图2，△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，
则O′Q=1，
∴D′B′=1，
∵BD=5，DD′=t，BB′=2t，
∴5+t+1=2t，
∴t=6；
（3）当△ABC平移到△A₁B₁C₁的位置，A₁C₁与⊙O相切，d=1，如图3，由（1）得C₁D=

3

3

，
∵BD=5，DD′=t，BB₁=2t，
∴DB₁=DD′-B₁C₁-C₁D′=t-1-

3

3

，
∴5+t-1-

3

3

=2t，
∴t=4-

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3

；
当△ABC平移到△A₂B₂C₂的位置，A₂C₂与⊙O相切，d=1，如图3，
作O′H⊥A₂C₂于H，
∵O′C₂平分∠A₂C₂B₂，
∴∠O′C₂D′=30°，
∴C₂D′=

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O′D′=

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，
∵CD+DD′+D′C₂=CC₂，
∴4+t+

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=2t，
∴t=4+

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，
∴当d＜1时，t的取值范围为4-

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3

＜t＜4+

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．

点评：本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和切线的性质、直线与圆的位置关系；会利用含30度的直角三角形三边的关系进行计算；会应用一元一次方程解决几何计算问题．