【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=4,点D是AC边上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为___.
【答案】﹣2
【解析】
连结AE,如图1,先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4,再根据圆周角定理,由AD为直径得到∠AED=90°,接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的 O上,于是当点O、E、C共线时,CE最小,如图2,在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2,从而得到CE的最小值为2
﹣2.
连结AE,如图1,
∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=,
∴AB=AC=4,
∵AD为直径,
∴∠AED=90°,
∴∠AEB=90°,
∴点E在以AB为直径的O上,
∵O的半径为2,
∴当点O、E. C共线时,CE最小,如图2
在Rt△AOC中,∵OA=2,AC=4,
∴OC=,
∴CE=OCOE=2﹣2,
即线段CE长度的最小值为2﹣2.
故答案为:2﹣2.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以点C为圆心,CA的长为半径的圆与AB、BC分别相交于点D、F,求圆心到AB的距离及AD的长.
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【题目】临近端午节,某食品店每天卖出300只粽子,卖出一只粽子的利润为1元.经调查发现,零售单价每降0.1元,每天可多卖出100只粽子.为了使每天获得的利润更多,该店决定把零售单价下降m(0<m<1)元,
(1)零售单价降价后,每只利润为 元,该店每天可售出 只粽子.
(2)在不考虑其他因素的条件下,当零售单价下降多少元时,才能使该店每天获取的利润是420元,且卖出的粽子更多?
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【题目】(操作体验)
如图①,已知线段AB和直线l,用直尺和圆规在l上作出所有的点P,使得∠APB=30°,如图②,小明的作图方法如下:
第一步:分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,两弧在AB上方交于点O;
第二步:连接OA,OB;
第三步:以O为圆心,OA长为半径作⊙O,交l于;
所以图中即为所求的点.(1)在图②中,连接
,说明∠
=30°
(方法迁移)
(2)如图③,用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P,使得∠BPC=45°,(不写做法,保留作图痕迹).
(深入探究)
(3)已知矩形ABCD,BC=2.AB=m,P为AD边上的点,若满足∠BPC=45°的点P恰有两个,则m的取值范围为________.
(4)已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P为矩形ABCD内一点,且∠BPC=135°,若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q,则PQ的最小值为________.
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【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8,E是BC边上的一点,将矩形ABCD沿折痕AE折叠,使得顶点B落在CD边上的点P处,PC=4(如图1).
(1)求AB的长;
(2)擦去折痕AE,连结PB,设M是线段PA的一个动点(点M与点P、A不重合).N是AB沿长线上的一个动点,并且满足PM=BN.过点M作MH⊥PB,垂足为H,连结MN交PB于点F(如图2).
①若M是PA的中点,求MH的长;
②试问当点M、N在移动过程中,线段FH的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段FH的长度.
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【题目】如图,将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC,连接BC,作△ABC的外接圆⊙O,点P为劣弧上的一个动点,弦AB、CP相交于点D.
(1)求∠APB的大小;
(2)当点P运动到何处时,PD⊥AB?并求此时CD:CP的值;
(3)在点P运动过程中,比较PC与AP+PB的大小关系,并对结论给予证明.
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【题目】如图1,在中,
,
,点M是AB的中点,连接MC,点P是线段BC延长线上一点,且
,连接MP交AC于点H.将射线MP绕点M逆时针旋转
交线段CA的延长线于点D.
(1)找出与相等的角,并说明理由.
(2)如图2,,求
的值.
(3)在(2)的条件下,若,求线段AB的长.
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【题目】为响应“绿色生活,美丽家园”号召,某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境.若种植甲种花卉,乙种花卉
,共需430元;种植甲种花卉
,乙种花卉
,共需260元.
(1)求:该社区种植甲种花卉和种植乙种花卉
各需多少元?
(2)该社区准备种植两种花卉共且费用不超过6300元,那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米?
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【题目】某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元,如果平均每月增长率为,则由题意列方程应为____________________________ 。
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