Question

如图，已知点A（-m，n），B（0，m），且m、n满足

m+5

+（n-5）²=0，点C在y轴上，将△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处．

（1）写出D点坐标并求A、D两点间的距离；
（2）若EF平分∠AED，若∠ACF-∠AEF=20°，求∠EFB的度数；
（3）过点C作QH平行于AB交x轴于点H，点Q在HC的延长线上，AB交x轴于点R，CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，当点C在y轴上运动时，∠CPR的度数是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先由非负数的性质求出m，n的值，得到A点坐标，再根据折叠的性质得点D与点A关于y轴对称，再根据关于y轴对称的点的坐标特征得到D点坐标，然后计算点A与点D的横坐标之差即可得到A、D两点间的距离；
（2）根据折叠的性质得∠DCF=∠ACF，再利用三角形外角性质得∠DCF=∠EFB+∠DEF，则∠EFB=∠ACF-∠DEF，又∠DEF=∠AEF，所以∠EFB=∠ACF-∠AEF=20°；
（3）根据平行线的性质由QH∥AB得到∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，再根据角平分线的定义得∠QCP=

1

2

∠BCQ，∠2=

1

2

∠ARX，则∠1=

1

2

∠BCQ，∠2=

1

2

∠3，接着利用三角形外角性质得∠BCQ=90°+∠3，所以2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，然根据∠1=∠CPR+∠2即可得到∠CPR=45°．

解答：解：（1）∵

m+5

+（n-5）²=0，
∴m+5=0，n-5=0，
∴m=-5，n=5，
∴A点坐标为（5，5），
∵△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处，
∴点D与点A关于y轴对称，
∴D点坐标为（-5，5）；
∴AD=5-（-5）=10；

（2）如图2，∵△ABC沿x轴折叠，使点A落在点D处，
∴∠DCF=∠ACF，
∵∠DCF=∠EFB+∠DEF，
∴∠EFB=∠ACF-∠DEF，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF=∠AEF，
∴∠EFB=∠ACF-∠AEF=20°；

（3）∠CPH=45°．理由如下：
如图3，∵QH∥AB，
∴∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，
∵CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，
∴∠QCP=

1

2

∠BCQ，∠2=

1

2

∠ARX，
∴∠1=

1

2

∠BCQ，∠2=

1

2

∠3，
∵∠BCQ=90°+∠3，
∴2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，
∵∠1=∠CPR+∠2，
∴∠CPR=45°．

点评：本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质和折叠的性质．