Question

如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，
（1）若AB=10，AC=6，求：

S△ABD

S△ACD

，并说明理由．
（2）若AB=a，AC=b，∠BAD=∠DAC=α，求证：S_△ABC=ab•sinαcosα，
并用a，b和角α的三角函数表示角平分线AD的长．（注：不能使用课本未出现的结论）

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）求出

AB

AC

=

BD

CD

=

5

3

，再根据三角形的面积公式求出即可；
（2）求出sin2α=2sinαcosα，解子三角形求出CW，根据三角形的面积公式求出即可；过D作DT⊥AB于T，DZ⊥AC于Z，根据角平分线的性质得出DT=DZ，设DT=DZ=e，根据三角形的面积公式得出S_△ABC=S_△ADB+S_△ADC，求出DT=e=

2absinαcosα

a+b

，在Rt△ATD中解直角三角形即可．

解答：解：（1）

S△ABD

S△ACD

=

5

3

，
理由是：如图1，过B作BE∥AD，交CA的延长线于E，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠DAB，
∵AD∥BE，
∴∠CAD=∠E，∠DAB=∠ABE，
∴∠E=∠ABE，
∴AE=AB，
∵AD∥BE，
∴

AC

AE

=

CD

BD

，
∴

AC

AB

=

CD

BD

=

6

10

=

3

5

，
∴

AB

AC

=

BD

DC

=

5

3

，
∴

S△ABD

S△ACD

=

BD

CD

=

AB

AC

=

5

3

；

证明：（2）如图2，设在△DEF中，
∠EDF=2α，DE=DF=x，EF=2y，
过D作DH⊥EF于H，则EH=FH=y，∠EDH=∠FDH=α，
由勾股定理得：DH=

x2-y2

，
sinα=

EH

DE

=

y

x

，cosα=

DH

DE

=

DH

x

，
所以sinαcosα=

y•DH

x2

，
∵由三角形面积公式得：

1

2

EF×DH=

1

2

DF×EQ，
∴EQ=

EF×DH

DF

=

2yDH

x

，
∴sin2a=

EQ

DE

=

2yDH

x2

，
∴sin2α=2sinαcosα，
如图3，过C作CW⊥AB于W，
则CW=AC×sin2α=bsin2α，
∴S_△ABC=

1

2

AB×CW=

1

2

×absin2α，
∵sin2α=2sinαcosα，
∴S_△ABC=absinαcosα．

如图4，过D作DT⊥AB于T，DZ⊥AC于Z，
∵AD是角平分线，
∴DT=DZ，
设DT=DZ=e，
根据三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△ADB+S_△ADC，
absinαcosα=

1

2

ae+

1

2

be，
∴DT=e=

2absinαcosα

a+b

，
在Rt△ATD中，AD=

DT

sinα

=

2absinαcosα a+b

sinα

=

2abcosα

a+b

．

点评：本题考查了解直角三角形，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，勾股定理的应用，题目比较好，综合性比较强，难度偏大．