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【题目】如图,在正方形ABCD中,H是对角线BD的中点,延长DCE,使得DE=DB,连接BE,作DFBEBC于点G,交BE于点F,连接CHFH,下列结论:(1HC=HF;(2DG=2EF;(3BE·DF=2CD2;(4SBDE=4SDFH;(5HFDE,正确的个数是(

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

由等腰三角形三线合一的性质可得EF=BF,根据H是正方形对角线BD的中点可得CH=DH=BH,即可证明HF是△BDE的中位线,可得HF=DEHF//DE;由BD=DE即可得HC=HF;利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠CBE=CDG,利用ASA可证明△BCE≌△DCG,可得DG=BE,可判定DG=2EF,由正方形的性质可得BD2=2CD2,根据∠CBE=CDG,∠E是公共角可证明△BCE∽△DFE,即可得,即BE·DF=DE·BC,可对③进行判定,根据等底等高的三角形面积相等可对④进行判定,综上即可得答案.

BD=DEDFBE

EF=BF

H是正方形ABCD对角线BD的中点,

CH=DH=BH=BD

HF是△BDE的中位线,

HF=DE=BD=CHHF//DE,故①⑤正确,

∵∠CBE+E=90°,∠FDE+E=90°

∴∠CBE=FDE

又∵CD=BC,∠DCG=BCE=90°

∴△BCE≌△DCG

DG=BE

BE=2EF

DG=2EF,故②正确,

∵∠CBE=FDE,∠E=E

∴△BCE∽△DFE

,即BE·DF=DE·BC

BD2=CD2+BC2=2CD2

DE2=2CD2

DE·BC≠2CD2

BE·DF≠2CD2,故③错误,

DH=BD

SDFH=SDFB

BF=BE

SDFB=SBDE

SDFH=SBDE,即SBDE=4SDFH,故④正确,

综上所述:正确的结论有①②④⑤,共4个,

故选B.

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