【题目】如图,在正方形ABCD中,H是对角线BD的中点,延长DC至E,使得DE=DB,连接BE,作DF⊥BE交BC于点G,交BE于点F,连接CH、FH,下列结论:(1)HC=HF;(2)DG=2EF;(3)BE·DF=2CD2;(4)S△BDE=4S△DFH;(5)HF∥DE,正确的个数是( )
A.5B.4C.3D.2
【答案】B
【解析】
由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF=BF,根据H是正方形对角线BD的中点可得CH=DH=BH,即可证明HF是△BDE的中位线,可得HF=DE,HF//DE;由BD=DE即可得HC=HF;利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠CBE=∠CDG,利用ASA可证明△BCE≌△DCG,可得DG=BE,可判定DG=2EF,由正方形的性质可得BD2=2CD2,根据∠CBE=∠CDG,∠E是公共角可证明△BCE∽△DFE,即可得,即BE·DF=DE·BC,可对③进行判定,根据等底等高的三角形面积相等可对④进行判定,综上即可得答案.
∵BD=DE,DF⊥BE,
∴EF=BF,
∵H是正方形ABCD对角线BD的中点,
∴CH=DH=BH=BD,
∴HF是△BDE的中位线,
∴HF=DE=BD=CH,HF//DE,故①⑤正确,
∵∠CBE+∠E=90°,∠FDE+∠E=90°,
∴∠CBE=∠FDE,
又∵CD=BC,∠DCG=∠BCE=90°,
∴△BCE≌△DCG,
∴DG=BE,
∵BE=2EF,
∴DG=2EF,故②正确,
∵∠CBE=∠FDE,∠E=∠E,
∴△BCE∽△DFE,
∴,即BE·DF=DE·BC,
∵BD2=CD2+BC2=2CD2
∴DE2=2CD2,
∴DE·BC≠2CD2,
∴BE·DF≠2CD2,故③错误,
∵DH=BD,
∴S△DFH=S△DFB,
∵BF=BE,
∴S△DFB=S△BDE,
∴S△DFH=S△BDE,即S△BDE=4S△DFH,故④正确,
综上所述:正确的结论有①②④⑤,共4个,
故选B.
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【题目】如图,点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,以线段AB为边在第一象限作等边△ABC,,且CA∥y轴.
(1)若点C在反比例函数的图象上,求该反比例函数的解析式;
(2)在(1)中的反比例函数图象上是否存在点N,使四边形ABCN是菱形,若存在请求出点N坐标,若不存在,请说明理由.
(3)点P在第一象限的反比例函数图象上,当四边形OAPB的面积最小时,求出P点坐标.
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【题目】已知一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设x1,x2是方程的两个实数根,且满足x12+x1x2=1,求m的值.
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【题目】已知:⊙O的两条弦,相交于点,且.
(1)如图1,连接,求证:.
(2)如图2,在,在上取一点,使得,交于点,连接.
①判断与是否相等,并说明理由.
②若,,求的面积.
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【题目】某游泳池每次换水前后水的体积基本保持不变,当该游泳池以每小时300立方米的速度放水时,经3小时能将池内的水放完.设放水的速度为x立方米/时,将池内的水放完需y小时.已知该游泳池每小时的最大放水速度为350立方米
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)若该游泳池将放水速度控制在每小时200立方米至250立方米(含200立方米和250立方米),求放水时间y的范围.
(3)该游泳池能否在2.5小时内将池内的水放完?请说明理由.
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【题目】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在同一条公路上,匀速行驶,相向而行,到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后,因故停车0.5小时,故障解除后,继续以原速向B地行驶,两车之间的路程y(千米)与出发后所用时间x(小时)之间的函数关系如图所示.
(1)求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙.
(2)求m的值.
(3)若甲车没有故障停车,求可以提前多长时间两车相遇.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C
(1)求此二次函数解析式;
(2)点D为抛物线的顶点,试判断△BCD的形状,并说明理由;
(3)将直线BC向上平移t(t>0)个单位,平移后的直线与抛物线交于M,N两点(点M在y轴的右侧),当△AMN为直角三角形时,求t的值.
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【题目】小明和爸爸从家步行去公园,爸爸先出发一直匀速前行,小明后出发.家到公园的距离为2500 m,如图是小明和爸爸所走的路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象.
(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式;
(2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇?
(3)在速度都不变的情况下,小明希望比爸爸早20 min到达公园,则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整?
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【题目】如图,在直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上,点B的坐标是(5,2),点P是CB边上一动点(不与点C、点B重合),连结OP、AP,过点O作射线OE交AP的延长线于点E,交CB边于点M,且∠AOP=∠COM,令CP=x,MP=y.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)当x为何值时,OP⊥AP?
(3)在点P的运动过程中,是否存在x,使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积?若存在,请求x的值;若不存在,请说明理由.
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