Question

10．某超市有单价总和为100元的A、B、C三种商品．小明共购买了三次，其中一次购买时三种商品同时打折，其余两次均按单价购买，三次购买商品的数量和总费用如下表：

	商品A的数量	商品B的数量	商品C的数量	总费用（元）
第一次	5	4	3	390
第二次	5	4	5	312
第三次	0	6	4	420

（1）小明以折扣价购买的商品是第二次购物．
（2）若设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元．
①C商品的单价是100-x-y元（请用x与y的代数式表示）；
②求出x，y的值；
（3）若小明单价（没打折）第四次购买商品A、B、C的数量总和为m个，其中购买B商品数量是A商品数量的2倍，购买总费用为720元，m的最小值为18．

Answer 1

分析 （1）分析前两次购物，发现第二次购买数量比第一次多但是价钱反而降低了，故得出小明以折扣价购买的商品是第二次购物这个结论；
（2）由A、B、C三种商品单价总和为100元，得出C商品的单价，由表格得出关于x、y的二元一次方程，解方程即可求得x、y的值；
（3）根据总费用=单价×数量得出购买商品数量m关于购买商品A的数量a的一次函数，结合函数的单调性以及a的取值范围可以得出m的最小值．

解答 解：（1）分析一二次购物：第二次购物比第一次购物A、B商品购买数量没有减少，C商品购买数量增加总费用反而比第一购物少，
所以小明以折扣价购买的商品是第二次购物．
故答案为：二．
（2）①∵某超市有单价总和为100元的A、B、C三种商品，且A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，
∴C商品的单价为100-x-y元．
故答案为：100-x-y．
②结合一三次购物可知：$\left\{\begin{array}{l}{5x+4y+3（100-x-y）=390}\\{6y+4（100-x-y）=420}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=50}\end{array}\right.$．
答：A商品的单价为20元，B商品的单价为50元．
（3）由（2）可知C商品的单价是100-20-50=30（元），
设第四次购买商品A的数量为a个，则购买商品B的数量为2a个，购买商品C的数量为m-3a个，
依据题意可知：20a+50×2a+30×（m-3a）=720，即m=24-a．
又∵m-3a≥0，
∴24-4a≥0，解得：a≤6．
∵m关于a的函数单调递减，
∴当a=6时，m最小，此时m=24-6=18．
故答案为：18．

点评 本题考查了一次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）第二次购物比第一次多而费用少；（2）列出关于x、y的二元一次方程；（3）找出购买商品数量m关于购买商品A的数量a的一次函数．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）需要结合一次函数的性质和解一元一次不等式得出a的取值范围，由一次函数的单调性得出最值问题．