Question

如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系．以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，函数y=ax²+bx+3过A，B，C三点且AB=6．
（1）求⊙P的半径R的长；
（2）若点M（m，n）为抛物线y=ax²+bx+3上的动点（只在x轴上方运动），若∠AMB＜45°，求m，n的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连结AP，如图1，先求出C点的坐标为（0，3），由于四边形OCPD是矩形，则PD=OC=2，根据垂径定理得AD=BD=

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2

AB=3，于是可判断△PAD为等腰直角三角形，则PA=

2

AD=3

2

；
（2）作直径CE，连接PA、PB，连接AC、BC、AE、BE，如图2，先确定E点坐标为（6

2

，3），利用抛物线的轴对称性质得到抛物线y=ax²+bx+3过E点，再判断△PAB为等腰直角三角形，得到∠APB=90°，然后根据圆周角定理得∠ACB=∠AEB=

1

2

∠APB=45°，若∠AMB＜45°，则点M在⊙P外，且在C点和E点的上方的抛物线上，利用C点和E点的坐标易得m、n的范围．

解答：解：（1）连结AP，如图1，
当x=0时，y=ax²+bx+3=3，则C点的坐标为（0，3），即OC=3，
∵四边形OCPD是矩形，
∴PD=OC=2，
∵PD⊥AB∴AD=BD=

1

2

AB=3
在Rt△PDA中，∵AD=PD=3，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴PA=

2

AD=3

2

，
即⊙P的半径R的长为3

2

；
（2）作直径CE，连接PA、PB，连接AC、BC、AE、BE，如图2，
∵CE=2R=6

2

，
∴E点坐标为（6

2

，3），
∵抛物线y=ax²+bx+3过A，B，C点，
∴直线PD为抛物线的对称轴，
∴抛物线y=ax²+bx+3过E三点，
∵△PAD为等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴△PAB为等腰直角三角形，
∴∠APB=90°，
∴∠ACB=∠AEB=

1

2

∠APB=45°，
∴当∠AMB＜45°，则点M在⊙P外，且点P在抛物线上，
∴m＜0，n＞3 或 m＞6

2

，n＞3．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质；理解抛物线的轴对称性质．