Question

20．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）证明：CE是⊙O的切线；
（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8时，求$\frac{1}{2}$CD+OD的最小值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；
（2）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=$\frac{1}{2}$DC，从而有$\frac{1}{2}$CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即$\frac{1}{2}$CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OC，如图1所示：
∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=∠OCA=30°，∠COE=2∠CAE=60°，
∴∠OCE=180°-30°-60°=90°，
即CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；
（2）解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图2所示，
则∠AOF=∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=$\frac{1}{2}$DC，
∴$\frac{1}{2}$CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即$\frac{1}{2}$CD+OD）最小，
∵OF=OA=4，
∴此时FH=DH+FD=OF•sin∠FOH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$CD+OD的最小值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把$\frac{1}{2}$CD+OD转化为DH+FD是解决第（2）小题的关键．