Question

直线y=x-2与抛物线y=ax²+bx+c的图象交于A（2，m）与B（n，3）两点，抛物线的对称轴是x=3．
（1）求a、b、c的值；
（2）抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）把A（2，m）与B（n，3）分别代入y=x-2求出m和n，即可得到点A（2，0）、B（5，3）在抛物线y=ax²+bx+c上，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），则可设交点式y=a（x-2）（x-4），然后把（5，3）代入可计算出a=1，即可得到抛物线解析式为y=x²-6x+8，进而求得b、c的值；
（2）作BD⊥x轴于D，先由抛物线y=x²-6x+8与y轴交于点C，求得C（0，8），再根据△ABC的面积=S_梯形OCBD-S_△AOC-S_△ABD即可求解．

解答：解：（1）把A（2，m）与B（n，3）分别代入y=x-2，
得m=2-2=0，n-2=3，解得n=5，
即点A（2，0）、B（5，3）在抛物线y=ax²+bx+c上，
由于抛物线的对称轴是直线x=3，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），
把（5，3）代入，得a•3•1=3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x-2）（x-4）=x²-6x+8，
所以b=-6，c=8；

（2）如图，作BD⊥x轴于D，
∵抛物线y=x²-6x+8与y轴交于点C，
∴C（0，8），
∴△ABC的面积=S_梯形OCBD-S_△AOC-S_△ABD
=

1

2

（3+8）×5-

1

2

×2×8-

1

2

×3×3
=

55

2

-8-

9

2

=15．

点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，正确求出二次函数的解析式是解题的关键．