Question

已知∠ABM=90°，AB=AC，过点A作AG丄BC，垂足为G，延长AG交BM于点，过点A作AN∥BM，过点C作EF∥AD，与射线AN、BM分别相交于点F、E
（1）求证：△BCE∽△AGC；
（2）点P是射线AD上的一个动点，设AP=x，四边形ACEP的面积是y，若AF=5，AD=

25

3

．
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②当点P在射线AD上运动时，是否存在这样的点P，使得△CPE的周长为最小？若存在，求出此时y的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：证明题

分析：（1）先利用等腰三角形的性质得到∠1=∠2，再利用等角的余角相等得到∠2=∠3，则∠1=∠3，然后利用AD∥EF得到∠BCE=∠AGC=90°，于是可判断△BCE∽△AGC；
（2）①先证明四边形ADEF为平行四边形得到DE=AF=5，再说明DG为△BCE的中位线得到DG=

1

2

CE，BD=DE=5，在Rt△ABD中根据勾股定理计算出AB=

20

3

，接着利用面积法计算出BG=4，则CG=4，再利用勾股定理易得DG=3，则CE=2DG=6，然后根据梯形得面积公式得到y与x的关系；
②由于△CPE的周长═PC+PE+6，再根据AD垂直平分BC得到PB=PC，所以△CPE的周长=PB+PE+6，由于PB+PE≥BE，则PB+PE=BE时，即点P与点D重合，△PCE的周长最小，求出此时的x的值，然后利用①中的关系求出对应的y的值．

解答：（1）证明：如图，∵AB=AC，AG⊥BC，
∴∠1=∠2，BG=CG，∠AGC=90°，
∴∠2+∠AGB=90°，
而∠ABG+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵AD∥EF，
∴∠BCE=∠AGC=90°，
∴△BCE∽△AGC；
（2）①解：∵AF∥DE，AD∥EF，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴DE=AF=5，
∵BG=CG，DG∥CE，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG=

1

2

CE，BD=DE=5，
在Rt△ABD中，∵AD=

25

3

，BD=5，
∴AB=

AD2-BD2

=

20

3

，
∵

1

2

BG•AD=

1

2

AB•BD，
∴BG=

20 3 ×5

25 3

=4，
∴CG=4，
在Rt△BDG中，∵BD=5，BG=4，
∴DG=

BD2-BG2

=3，
∴CE=2DG=6，
∴y=

1

2

（6+x）•4=2x+12（x＞0）；
②存在．
连结PB，PC，如图，
△CPE的周长=PC+PE+CE
=PC+PE+6，
∵AD垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴△CPE的周长=PB+PE+6，
∵PB+PE≥BE，
∴当PB+PE=BE时，即点P与点D重合，△PCE的周长最小，
此时x=

25

3

，
∴y=2×

25

3

+12=

86

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，也考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质和勾股定理．