Question

17．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AB、BC上，∠EDF=45°，DE、DF分别交AC于点G、H．求证：EF=$\sqrt{2}$GH．

Answer 1

分析 连接BD，根据四边形ABCD是正方形，于是得到∠DBC=∠CAD=∠ADB=45°，即∠1+∠2=∠2+∠3=45°，求得∠1=∠3，∠DBF=∠DAC，推出△AGD∽△BFD，根据相似三角形的性质得到$\frac{DG}{DF}=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，延长BA到M，使CF=AM，得到△DFC≌△AMD，根据全等三角形的性质得到∠4=∠5，DF=DM，推出△EDF≌△MDE，根据全等三角形的性质得到∠6=∠8=∠7，证得△DGH∽△DEF，根据相似三角形的性质得到$\frac{GH}{EF}=\frac{DG}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，尽快得到结论．

解答 解：连接BD，
∵∠EDF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠CAD=∠ADB=45°，
即∠1+∠2=∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，∠DBF=∠DAC，
∴△AGD∽△BFD，
∴$\frac{DG}{DF}=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
延长BA到M，使CF=AM，
在△DFC与△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=AM}\\{∠MAD=∠DCF=90°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△AMD，
∴∠4=∠5，DF=DM，
∵∠EDF=45°，
∴∠1+∠4=45°，
∴∠1+∠5=45°，
在△EDF与△MDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DM}\\{∠EDF=∠MDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△MDE，
∴∠6=∠8=∠7，
∴∠8=∠9，
∴∠6=∠9，
∴△DGH∽△DEF，
∴$\frac{GH}{EF}=\frac{DG}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{2}$GH．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．