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    17．（1）如图（1），△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫作正三角形的渐开线，其中$\widehat{CD}$，$\widehat{DE}$，$\widehat{EF}$，…的圆心依次按A，B，C循环，如果AB=1，则曲线CDEF的长是多少？
    （2）如图（2），若A2B2C2D2为正方形，边长为1，则渐开一周的曲线A2E2F2C2H2的长为多少？
    （3）以此类推，若把一个边长为1的正五边形按上述过程作渐开线，渐开一周后曲线的长度是多少？
    （4）想一想，若把一个边长为1的正n边形沿上述步骤依次作渐开线，则渐开一周后的曲线长是多少？

    分析 （1）曲线CDEF的长由弧CD，弧DE，弧EF组成，它们所对的圆心角都为120°，而半径分别为1，2，3，根据弧长公式分别计算三个弧长，求它们的和即可；
    （2）类比（1）的方法，曲线A2E2F2C2H2的长由4条弧组成，它们所对的圆心角都为270°，而半径分别为1，2，3，4，根据弧长公式分别计算，四个弧长，求它们的和即可；
    （3）把一个边长为1的正五边形按上述过程作渐开线，渐开一周后曲线的长度是由5条弧组成，它们所对的圆心角都为180°-$\frac{（5-2）×180}{5}$=72°，而半径分别为1，2，3，4，5，根据弧长公式分别计算，四个弧长，求它们的和即可；
    （4）由计算得出规律，解决问题即可．

    解答 解：（1）∵△ABC是正三角形，
    ∴∠CAD=∠DBE=∠ECF=120°，
    又∵AB=1，
    ∴AC=1，BD=2，CE=3，
    ∴CD弧的长度=$\frac{120π×1}{180}$=$\frac{2}{3}$π；
    DE弧的长度=$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π；
    EF弧的长度=$\frac{120π×3}{180}$=2π；
    所以曲线CDEF的长为$\frac{2}{3}$π+$\frac{4}{3}$π+2π=4π．
    （2）若A2B2C2D2为正方形，边长为1，则渐开一周的曲线A2E2F2C2H2的长为$\frac{90π×1}{180}$+$\frac{90π×2}{180}$+$\frac{90π×3}{180}$+$\frac{90π×4}{180}$=5π；
    （3）若把一个边长为1的正五边形按上述过程作渐开线，渐开一周后曲线的长度是$\frac{72π×1}{180}$+$\frac{72π×2}{180}$+$\frac{72π×3}{180}$+$\frac{72π×4}{180}$+$\frac{72π×5}{180}$=6π；
    （4）把一个边长为1的正n边形沿上述步骤依次作渐开线，则渐开一周后的曲线长是（n+1）π．

    点评 本题主要考查了圆的综合题及弧长的计算，解题的关键是明白n边形的外角与n的关系，然后再利用渐开线中第n重的关系求值．

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