Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=2∠C，点D在BC上，且AD平分∠BAC，若AB=

3

+1，求CD的长．

Answer 1

考点：勾股定理,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：在AC上取AE=AB，连接DE，求证△ABD≌△AED，根据EC=AC-AE=AC-AB．再求证EC=ED=BD即可．

解答：解：在AC上取AE=AB，连接DE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
在△ABD与△AED中，

AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD

，
∴△ABD≌△AED（SAS）．
∴AE=AB，BD=DE．
∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=2∠C．
∴∠B=60°，∠C=30°．
∵AB=

3

+1，
∴BC=2

3

+2，AC=

BC2-AB2

=

(2 3 +2)2-( 3 +1)2

=

3

+3，
∴EC=AC-AE=AC-AB=

3

+3-

3

-1=2．
又∵∠AED=60°，∠C=30°．
∴∠EDC=30°，EC=ED=BD=2．
∴CD=BC-BD=2

3

+2-2=2

3

．

点评：本题考查是的勾股定理，涉及到全等三角形的证明，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EC=ED=BD，及求EC的长度是解题的关键．