Question

【题目】如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据AC比BC的多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置．

解：设BC＝x，

∴AC＝x+5

∵AC+BC＝AB

∴x+x+5＝30，

解得：x＝20，

∴BC＝20，AC＝10，

∴BC＝2AC，故①成立，

∵AP＝2t，BQ＝t，

当0≤t≤15时，

此时点P在线段AB上，

∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，

∵M是BP的中点

∴MB＝BP＝15﹣t

∵QM＝MB+BQ，

∴QM＝15，

∵N为QM的中点，

∴NQ＝QM＝，

∴AB＝4NQ，

当15＜t≤30时，

此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，

∴AP＝2t，BQ＝t，

∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，

∵M是BP的中点

∴BM＝BP＝t﹣15

∵QM＝BQ﹣BM＝15，

∵N为QM的中点，

∴NQ＝QM＝，

∴AB＝4NQ，

当t＞30时，

此时点P在Q的右侧，

∴AP＝2t，BQ＝t，

∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，

∵M是BP的中点

∴BM＝BP＝t﹣15

∵QM＝BQ﹣BM＝15，

∵N为QM的中点，

∴NQ＝QM＝，

∴AB＝4NQ，

综上所述，AB＝4NQ，故②正确，

当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上，

∴AP＝2t，BQ＝t

∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，

∴30﹣2t＝t，

∴t＝12，

当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，

∴AP＝2t，BQ＝t，

∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，

∴2t﹣30＝t，

t＝20，

当t＞30时，此时点P在Q的右侧，

∴AP＝2t，BQ＝t，

∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，

∴2t﹣30＝t，

t＝20，不符合t＞30，

综上所述，当PB＝BQ时，t＝12或20，故③错误；

故选：C．