Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上且B（4，3）．双曲线y=

k

x

(x＞0)交BC于点P，交AB于点Q．
（1）若P为边BC的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；
（2）若双曲线y=

k

x

(x＞0)和线段BC有公共点，求k的取值范围；
（3）连接PQ，AC，当PQ存在时，PQ∥AC是否总成立？若成立请证明，若不成立也请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题,数形结合

分析：（1）求反比例函数，找出该曲线上一点的坐标即可；
（2）反比例函数的k=xy，只要知道x和y的值的范围即可得；
（3）求PQ∥AC，即找出线段比值是否相等．

解答：解：（1）P为边BC的中点，则P（2，3），k=6，
函数表达式为y=

6

x

．
由图可知点Q的横坐标为4，
把x=4代入y=

6

x

，解得y=

3

2

，
则Q（4，

3

2

）；

（2）线段BC的纵坐标为3，双曲线y=

k

x

(x＞0)和线段BC有公共点，即y的值恒为3，
当x值取最大值为4时，可得k最大值为12，
则k取值范围为0＜k＜12；

（3）成立；点P、Q都是在反比例函数上，
由y=

k

x

，可得Q（4，

k

4

），P（

k

3

，3）；
则BP=4-

k

3

，BC=4，
BQ=3-

k

4

，BA=3；
则

PB

BC

=

4- k 3

4

=1-

k

12

，

BQ

BA

=

3- k 4

3

=1-

k

12

；
即

PB

BC

=

BQ

BA

，
由平行线分线段成比例定理可得PQ∥AC．

点评：考查反比例函数的性质，以及两直线平行的判定，结合图形解答本题是关键，此题难度不大，属于中档题．