Question

已知抛物线过点P（1，-2），Q（-1，2）且与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点连AC、BC．
（1）求a与c的关系式；
（2）若

1

OA

+

1

OB

=

4

OC

（O为坐标原点），求抛物线解析式；
（3）是否存在满足条件tan∠CAB•tan∠BCO=1的抛物线？若存在请求出抛物线的解析式；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将P、Q的坐标代入抛物线的解析式中，将b消去即可得出a，c的关系式．
（2）本题可先将所给的等式进行适当变形，然后设出A、B的横坐标，用根与系数的关系求出待定系数的值，即可求出抛物线的解析式．
（3）根据tan∠CAB•tan∠BCO=1，此时OA=OB，那么抛物线关于y轴对称，此时对称轴x=0，据此可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）设抛物线为：y=ax²+bx+c，将P、Q的坐标代入抛物线的解析式可得：

a+b+c=-2 a-b+c=2

，解得b=-2，a=-c．
（2）由（1）知y=ax²-2x-a，设A（x₁，0），B（x₂，0）．
令y=0，ax²-2x-a=0；
x₁+x₂=

2

a

，x₁x₂=-1，
∴A在x负半轴上，B在x正半轴上
∴OA=-x₁，OB=x₂
 

1

OA

+

1

OB

=

OB+OA

OB•OA

=

x2-x1

-x2•x1

=

(x2+x1)2-4x1•x2

=

4a2+4

|a|

∴

4

OC

=

4

|a|

=

4a2+4

|a|

，
∴4=

4a2+4

，
即a²=3，
∴a=±

3

，
∴抛物线的解析式为y=

3

x²-2x-

3

或y=-

3

x²-2x+

3

．
（3）∵tan∠CAB•tan∠BCO=1，
∴OA=OB，
由于A、B分别在原点两侧，
因此A、B关于原点对称，即抛物线的对称轴为y轴，
∴x=

1

a

=0，显然不成立，
因此不存在这样的抛物线．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用．解题的关键是利用根与系数的关系求出a的值．