【题目】如图①,正方形中,点
是对角线
的中点,点
是线段
上(不与
,
重合)的一个动点,过点
作
且
交边
于点
.
(1)求证:.
(2)如图②,若正方形的边长为2,过
作
于点
,在
点运动的过程中,
的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值;若变化,请说明理由.
(3)如图③,用等式表示线段,
,
之间的数量关系.
【答案】(1)证明见解析;(2)PF为定植是 ,证明见解析;(3)
,证明见解析
【解析】
(1)作辅助线,构建全等三角形,根据ASA证明△BMP≌△PNE可得结论;
(2)如图2,连接OB,通过证明△OBP≌△FPE,得PF=OB,则PF为定值是
(3)根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形,得PA= ,
,整理可得结论.
证明:(1)如图1,过P作MN∥AD,交AB于M,交CD于N
∵PB⊥PE,
∴∠BPE=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠D=90°
∵AD∥MN
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°
∴∠MPB+∠MBP=90°, ∠MPB+∠NPE=90°
∴∠EPN=∠MBP
Rt△PNC中,∠PCN=45°
∴△PNC是等腰直角三角形
∴PN=CN
∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°
∴四边形MBCN是矩形
∴BM=CN
∴BM=PN
∴△BMP≌△PNE(ASA)
∴PB=PE
(2)在P点运动的过程中,PF的长度不发生变化,理由是:
如图2,连接OB
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点,
∴OB⊥AC
∴∠AOB=90°
∴∠AOB=∠EFP=90°
∴∠OBP+∠BPO=90°
∵∠BPE=90°
∴∠BPO+∠OPE=90°
∴∠OBP=∠OPE
由(1)得:PB=PE
∴△OBP≌△FPE
∴PF=OB
∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形
∴∠BAO=45°
∴
∴PF为定植是
(3)如图1,,理由是:
∵∠BAC=45°
∴△AMP是等腰直角三角形
∴
由(1)知:PM=NE
∴
∵△PCN是等腰直角三角形
∴
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,二次函数的图象与x轴相交于A(3,0)、B(1,0)两点,与y轴相交于点C(0,3),点C.D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B,D.
(1)D点坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围;
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】今年“五一”节,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用时间为t(分钟),所走路程为s(米),s与t之间的函数关系如图所示,则下列说法中,错误的是( )
A. 小明中途休息用了20分钟 B. 小明休息前爬山的速度为每分钟60米
C. 小明在上述过程中所走路程为7 200米 D. 小明休息前后爬山的平均速度相等
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在中,
,点
从点
出发以每秒2个单位的速度沿
向终点
运动,过点
作
的垂线交折线
于点
,当点
不和
的顶点重合时,以
为边作等边三角形
,使点
和点
在直线
的同侧,设点
的运动时间为
(秒).
(1)求等边三角形的边长(用含
的代数式表示);
(2)当点落在
的边
上时,求
的值;
(3)设与
重合部分图形的面积为
,求
与
的函数关系式;
(4)作直线,设点
关于直线
的对称点分别为
,直接写出
时
的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.
(1)△ABC的面积等于 ;
(2)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明) .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数,则把点
叫做 “整点”.例如:
、
都是“整点”,抛物线
(
)与
轴交于
两点,若该抛物线在
之间的部分与线段
所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则
的取值范围是( )
A.B.
C.D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,对“隔离直线”给出如下定义:点
是图形
上的任意一点,点
是图形
上的任意一点,若存在直线
:
满足
且
,则称直线
:
是图形
与
的“隔离直线”,如图
,直线
:
是函数
的图像与正方形
的一条“隔离直线”.
(1)在直线①,②
,③
,④
中,是图
函数
的图像与正方形
的“隔离直线”的为 .
(2)如图,第一象限的等腰直角三角形
的两腰分别与坐标轴平行,直角顶点
的坐标是
,⊙O的半径为
,是否存在
与⊙O的“隔离直线”?若存在,求出此“隔离直线”的表达式:若不存在,请说明理由;
(3)正方形的一边在
轴上,其它三边都在
轴的左侧,点
是此正方形的中心,若存在直线
是函数
的图像与正方形
的“隔离直线”,请直接写出
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为15万元/辆,经销一段时间后发现:当该型号汽车售价定为25万元/辆时,平均每周售出8辆;售价每降低0.5万元,平均每周多售出1辆.
(1)当售价为22万元/辆时,求平均每周的销售利润.
(2)若该店计划平均每周的销售利润是90万元,为了尽快减少库存,求每辆汽车的售价.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com