Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一动点，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交AC、BA或其延长线于F、E两点

（1）如图1，当BC＝5BD时，求证：EG⊥BC；

（2）如图2，当BD＝CD时，FG+EG是否发生变化？证明你的结论；

（3）当BD＝CD，FG＝2EF时，DG的值＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）不变；EG+FG＝2；（3）或．

【解析】

（1）利用勾股定理得出BC，进一步得出BD，之后证明△BDA∽△BAC，所以∠BDA＝∠BAC＝90°，根据GE∥AD进一步得出结论即可；

（2）当BD=CD时，FG+EG不发生变化，且FG+EG=,利用△CFG∽△CAD进一步证明即可得出结论；

（3）分两种情况：当F在CA的延长线上和E在BA的延长线上，据此分别画出图形，利用相似得出答案即可.

证明：（1）如图1，

∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，

∴BC＝2，

∵BC＝5BD，

∴BD＝，

∴，

又∵∠DBA＝∠ABC，

∴△BDA∽△BAC，

∴∠BDA＝∠BAC＝90°，

∵EG∥AD，

∴EG⊥BC．

（2）FG＝EG＝2不变，

如图2，

∵EG∥AD，

∴△CFG∽△CAD，

∴,

同理,

∵BD＝CD，

∴+＝+＝2，

∴EG+FG＝2AD，

∵BD＝CD，∠BAC＝90°，

∴AD＝BC＝，

∴EG+FG＝2AD＝2．

（3）如图，

当BD＝CD，FG＝2EF时，

则GE＝EF，

∵GE∥AD，AD∥GF，

∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△BGE，

∴,,

∴=,

又BG+CG＝2，

∴BG＝，

∴DG＝BD＝BG＝；

如图，

当BD＝CD，FG＝2EF时，

则GE＝EF，

∵GE∥AD，AD∥GF，

∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE，

∴,,

∴=,

又BG+CG＝2，

∴CG＝，

∴DG＝CD﹣CG＝．

综上所知DG为或．