Question

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，⊙O与AB、AC分别相切于D、E两点，连接BO并延长交AC于P，且AP=2，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OD，OE，AO．先由切线的性质得出OD⊥AB，OE⊥AC，在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC=6，再证明BC=PC，所以可求∠BPC=45°．设⊙O的半径是r，根据三角形ABP的面积的两种表示方法，得2r+10r=12，解方程即可求解．

解答：解：如图，连接OD，OE，AO，设⊙O的半径是r．
∵⊙O与AB、AC分别相切于D、E两点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC．
∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵PC=8-2=6，
∴BC=PC，
∴∠BPC=45°，
∴S_△APB=S_△APO+S_△AOB=S_△ABC-S_△BCP，
即

1

2

×2r+

1

2

×10r=

1

2

×6×8-

1

2

×6×6，
2r+10r=12，
解得r=1．
所以⊙O的半径是1．

点评：本题考查了切线的性质，勾股定理的运用，熟练运用勾股定理，根据已知条件发现特殊直角三角形，运用三角形面积的不同表示方法列方程求解是解题的关键．