Question

【题目】如图，已知直线y=kx+6与抛物线y=+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y=+2x+3；(2)存在；P（，）；(3)（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）．

【解析】

试题分析：（1）由待定系数法确定函数解析式；

（2）先确定出点C坐标，再由△POB≌△POC建立方程，求解即可，

（3）分三种情况计算，分别判断∽△DOB，∽△DOB，∽，列出比例式建立方程求解即可．

试题解析：（1）把A（1，4）代入y=kx+6，

∴k=﹣2，

∴y=﹣2x+6，

由y=﹣2x+6=0，得x=3

∴B（3，0）．

∵A为顶点

∴设抛物线的解析为y=+4，

∴a=﹣1，

∴y=+4=+2x+3；

（2）存在．理由如下：

当x=0时y=+2x+3=3，

∴C（0，3）

∵OB=OC=3，OP=OP，

∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，

作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，

∴∠POM=∠PON=45°．

∴PM=PN

∴设P（m，m），则m=+2m+3，

∴m=，

∵点P在第三象限，

∴P（，）；

（3）①如图，当=90°时，作AE⊥y轴于E，

∴E（0，4）

∵=∠DOB=90°，=∠BDO，

∴∽△DOB，

∴，即，

∴=，

∴=，

∴（0，）；

②如图，

当=90°时，∠DBO+=+=90°，

∴∠DBO=，

∵∠DOB==90°，

∴∽△DOB，

∴，

∴，

∴=，

∴（0，）；

③如图，当=90°时，==90°，

∴=90°，

∴，

∴，

∴，即，

∴=0，

∴=1或3，

∴（0，1）或（0，3）．

综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）．