Question

如图，在△ABC中，AB，AC两边的垂直平分线分别交BC于E，F，垂足为M、N
（1）若△ABC的周长为18cm，且AB：BC：CA=2：4：3，求△AEF的周长
（2）若∠BAC+∠EAF=150°，求∠BAC的度数．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）先由△ABC的周长为18cm，且AB：BC：CA=2：4：3，求出BC=8cm，再由在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得AE=BE，AF=CF，即可得△AEF的周长=BC=8cm；
（2）设∠BAC=x，可求得∠B+∠C=180°-x，∠EAF=2x-180°，由∠BAC+∠EAF=150°列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵△ABC的周长为18cm，且AB：BC：CA=2：4：3，
∴BC=18×

4

2+4+3

=8（cm），
∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=8cm；

（2）∵AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF．
设∠BAC=x，
∴∠B+∠C=180°-x，
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=180°-x，
∴∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF）=x-（180°-x）=2x-180°．
∵∠BAC+∠EAF=150°，
∴x+（2x-180°）=150°，
解得x=110°，
即∠BAC=110°．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．