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【题目】如图,在ABC中,∠ACB=,以点A为圆心,AC为半径,作⊙A,交AB于点D,交CA的延长线于点E,过点EAB的平行线EF,交⊙A于点F,连接AFBFDF.

1)求证:BF是⊙A的切线;

2)当∠CAB等于多少度时,四边形ADFE为菱形?请给与证明.

3)若EF=1AE=2,求cosCBA的值.

【答案】1)见解析;(2)∠CAB=,四边形ADFE为菱形,理由见解析.3

【解析】

1)根据平行线的性质得∠E=CAB,∠EFA=FAB,加上∠E=EFA,则∠FAB=CAB,于是可判断ABC≌△ABF,从而得到∠AFB=90°,然后根据切线的判定方法可判断BF是⊙A的切线;

2)当∠CAB=60°,则∠FAB=EAF=60°,于是可证AEFADF都为等边三角形,所以AE=EF=AD=DF,然后根据菱形的判定方法可判断此时四边形ADFE是菱形;

(3)连接FC,证明∠ACF=CBA即可.

1)证明:∵EFAB

∴∠E=CAB,∠EFA=FAB

∵∠E=EFA

∴∠FAB=CAB

ABCABF中,

∴△ABC≌△ABFSAS),

∴∠AFB=ACB=90°

BFAF

AF是⊙A的半径,

BF是⊙A的切线;

2)解:当∠CAB=60°时,四边形ADFE为菱形.

理由如下:∵∠CAB=60°

∴∠FAB=EAF=60°

AE=AF=AD

∴△AEFADF都为等边三角形,

AE=EF=AD=DF

∴四边形ADFE是菱形.

3)连FC

EC为直径,

∴∠EFC=90°

EF=1AE=2

FC=

AEC的中点,EFAB

AB垂直平分线FC,交ABP,则CP=

又∠ABC=ACP

cosABC=ACP==

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编号

尺寸(cm

8.72

8.88

8.92

8.93

8.94

8.96

8.97

8.98

a

9.03

9.04

9.06

9.07

9.08

b

按照生产标准,产品等次规定如下:

尺寸(单位:cm

产品等次

8.97x9.03

特等品

8.95x9.05

优等品

8.90x9.10

合格品

x8.90x9.10

非合格品

注:在统计优等品个数时,将特等品计算在内;在统计合格品个数时,将优等品(含特等品)仅算在内.

1)已知此次抽检的合格率为80%,请判断编号为的产品是否为合格品,并说明理由

2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm.

i)求a的值,

ii)将这些优等品分成两组,一组尺寸大于9cm,另一组尺寸不大于9cm,从这两组中各随机抽取1件进行复检,求抽到的2件产品都是特等品的概率.

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2)如图②,CFBG分别是ABCADE的高,若ABC为任意三角形,ABCADE的面积是否相等,请说明理由;

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2BC2ABBE

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