Question

11．已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN=45°，将∠MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，联结MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA；
（2）联结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，可证得∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可证得∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，即可证得△ABM∽△NDA；
（2）由四边形BMND为矩形，可得BM=DN，然后由△ABM∽△NDA，根据相似三角形的对应边成比例，可证得BM²=AB²，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，
∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，
∴△ABM∽△NDA；

（2）解：∵四边形BMND为矩形，
∴BM=DN，
∵△ABM∽△NDA，
∴$\frac{AB}{DN}$=$\frac{BM}{AD}$，
∴BM²=AB²，
∴BM=AB，
∴∠BAM=∠BMA=$\frac{180°-∠ABM}{2}$=22.5°．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质．注意能证得当四边形BMND为矩形时，△ABM是等腰三角形是难点．