Question

【题目】（1）如图1，矩形中，点、分别在线段、上，点与点关于对称，点在线段上，连接、、交于点．求证：四边形是菱形；

（2）如图2，矩形中，，点、分别在线段、上，点与点关于对称，点在线段上，，求的长；

（3）如图3，有一块矩形空地，，，点是一个休息站且在线段上，，点在线段上，现要在点关于对称的点处修建一口水井，并且修建水渠和，以便于在四边形空地上种植花草，余下部分贴上地砖．种植花草的四边形空地的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）3000.

【解析】

（1）先证，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明是菱形；

（2）连接，设，在Rt△APE中，根据勾股定理解出x即可；

（3）先表示出四边形的面积得到最小时，四边形的面积最小，当点，，在同一条线上时，最小，再证，根据相似比求出EG，从而求出面积的最小值.

解：（1）证明：由对称可知：，

在矩形中，，

∴，

在 △POE和△QOB中，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵点与点关于对称，

∴，

∴四边形是菱形；

（2）连接，由对称知，，

设，

∴，

在Rt△APE中，根据勾股定理得，即，

∴解得：，

∴；

（3）连接，在中，，，

∴，

连接，过点作于，

∴四边形

，

∴最小时，四边形的面积最小，

对称可知，，

∴点是以点为圆心，为半径的一段弧上的一点，

∴点，，在同一条线上时，最小，

∴，，

∴，

∴，即，

∴，

∴最小，

∴四边形的面积最小值S．