Question

【题目】 如图，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线．点E在直径AC上，连接ED交⊙O于点B，连接AB，且AB＝BD．

(1)求证：AB＝BE；

(2)若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段AE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【解析】

（1）过B作BF⊥AD于点F，由等腰三角形的性质得F是AD的中点，再由切线的性质得AC⊥AD，进而得BF是△ADE的中位线便可得结论；

（2）过O作OM⊥AB于点M，过B作BN⊥AC于点N，根据垂径定理求得AM，再解直角三角形求得cos∠OAM，进而在Rt△ABN中求得AN，便可求得结果．

解：（1）过B作BF⊥AD于点F，如图1，

∵AB＝BD，

∴AF＝DF，

∵AD是⊙O的切线，

∴AC⊥AD，

∴AC∥BF，

∵AF＝DF，

∴BD＝DE，

∴AB＝BE；

（2）过O作OM⊥AB于点M，过B作BN⊥AC于点N，如图2，

∵AB＝6，AB＝BE，

∴AM＝BM＝＝3，AE＝2AN，

∵OA＝5，

∴cos∠OAM＝，

∴cos∠BAN＝，

∴AN＝，

∴AE＝2AN＝．