Question

我们运用图（I）图中大正方形的面积可表示为（a+b）²，也可表示为c²+4×ab，即（a+b）²=c²+4×ab由此推导出一个重要的结论a²+b²=c²，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．

（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）²=x²+2xy+y²

（3）现有足够多的边长为x的小正方形，边长为y的大正方形以及长为x宽为y的长方形，请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²．

Answer 1

【考点】勾股定理的证明；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．

【分析】（1）根据阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个直角三角形的面积，即可证明；

（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成；

（3）可以拼成一个长、宽分别是x+y和x+2y的长方形，它由边长是x的正方形，以及边长为y的正方形和长宽分别是x和y的矩形进而得出答案．

【解答】解：（1）大正方形的面积为：c²，中间空白部分正方形面积为：（b﹣a）²；

四个阴影部分直角三角形面积和为：4×ab；

由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：

c²=（b﹣a）²+4×ab=b²﹣2ab+a²+2ab=a²+b²；

 

（2）如图1所示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）²，

它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，

即x²+2xy+y²

所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

 

（3）如图2所示：大矩形的长、宽分别为（x+y），（x+2y），则其面积为：（x+y）•（x+2y），

从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：

x²+3xy+2y²，

则有：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²．

【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法．