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【题目】探索研究:已知:△ABC和△CDE都是等边三角形.

(1)如图1,若点A、C、E在一条直线上时,我们可以得到结论:线段AD与BE的数量关系为:
线段AD与BE所成的锐角度数为°;
(2)如图2,当点A、C、E不在一条直线上时,请证明(1)中的结论仍然成立;
灵活运用:
如图3,某广场是一个四边形区域ABCD,现测得:AB=60m,BC=80m,且∠ABC=30°,∠DAC=∠DCA=60°,试求水池两旁B、D两点之间的距离.

【答案】
(1)相等,60
(2)解:如图3,以AB为边在△ABC外侧作等边△ABE,连接CE.

由(2)可得:BD=CE

∴∠EBC=60°+30°=90°,

∴△EBC是直角三角形

∵EB=60m BC=80m,

∴CE= = =100(m).

∴水池两旁B、D两点之间的距离为100m.


【解析】解:(1)如图1,

∵△ABC和△CDE都是等边三角形,

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,

即∠ACD=∠BCE,

在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS),

∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,

由三角形的外角性质,∠DPE=∠PEA+∠DAC,

∠DCE=∠ADC+∠DAC,

∴∠DPE=∠DCE=60°;

所以答案是:相等,60;

⑵如图2,

∵△ABC和△CDE都是等边三角形,

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,

即∠ACD=∠BCE,

在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS),

∴AD=BE,∠DAC=∠EBC,

∴∠BPA=180°﹣∠ABP﹣∠BAP=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°.

【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质,掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°即可以解答此题.

练习册系列答案
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【题目】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:
步骤1:分别以点A,D为圆心,以大于 AD的长为半径,在AD两侧作弧,两弧交于点M,N;
步骤2:连接MN,分别交AB,AC于点E,F;
步骤3:连接DE,DF.
下列叙述不一定成立的是( )

A.线段DE是△ABC的中位线
B.四边形AFDE是菱形
C.MN垂直平分线段AD
D. =

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【题目】已知点O为直线AB上一点,将直角三角板MON的直角顶点放在点O处,并在∠MON内部作射线OC

1)如图1,三角板的一边ON与射线OB重合,且∠AOC150°.若以点O为观察中心,射线OM表示正北方向,求射线OC表示的方向;

2)如图2,将三角板放置到如图位置,使OC恰好平分∠MOB,且∠BON2NOC,求∠AOM的度数;

3)若仍将三角板按照如图2的方式放置,仅满足OC平分∠MOB,试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.

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【题目】某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD,在课外活动时间测得下列数据:如图,从地面E点测得地下停车场的俯角为30°,斜坡AE的长为16米,地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)1.2米.试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米).

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【题目】已知:如图,已知∠1+2=180°,∠3=B 求证:∠AED=∠ACB

证明:∵∠1+∠4180°(平角定义)

∠1+∠2180°(已知)

∴_____________

∴∠3+ =180°

3=B(已知)

+ =180°(等量代换)

AED=∠ACB ).

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【题目】某营业厅对手机话费业务有如下的优惠:
优惠规则:
①用户手机账户原有话费不能低于240元;
②办理业务时,首先从手机账户中一次性扣除240元,并把这240元抵为300元话费,然后将这300元话费分12次,在每月的15号等额返还到手机账户;
③每月1号从手机账户中扣除话费49元,当月不再扣除其他任何费用;
④每月1号手机账户的话费余额不足以扣除49元时,视为欠费,则当月不再返还等额的话费.
小明的手机账户中原有话费400元,办理了这项优惠业务,设小明的手机账户中每个月末的话费余额是y(元),月数为x(个),则
(1)每个月等额返还的话费是元,第2个月末的话费余额是元;
(2)求y关于x的函数关系式;
(3)若不续费,小明的手机第几个月会欠费?

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【题目】已知:如图1,过等腰直角三角形ABC的直角顶点A作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BECE,其中CE交直线AP于点F

(1)依题意补全图形;

(2)若∠PAB=16°,求∠ACF的度数;

(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段ABFEFC之间的数量关系,并证明.

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【题目】已知:如图,AEBCMFGBCN,∠1=∠2

1)求证:ABCD;(2)若∠D=∠350°,∠CBD70°,求∠C的度数.

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【题目】某校举行了文明在我身边摄影比赛.已知每幅参赛作品成绩记为x(60x100).校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品,统计了它们的成绩,并绘制了如下不完整的统计图表.

分数段

频数

频率

60x<70

18

0.36

70x<80

17

c

80x<90

a

0.24

90x<100

b

0.06

合计

1

根据以上信息解答下列问题:

(1)统计表中c的值为________;样本成绩的中位数落在分数段________中;

(2)补全频数直方图;

(3)80分以上(80)的作品将被组织展评,试估计全校被展评的作品数量是多少.

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