Question

如图，直线y=-

3

3

x+

2 3

3

与x轴的相交于点A，与y轴相交于点B，⊙O与x轴的负半轴相交于点C，与直线AB相切于点D，
（1）求A、B、C的坐标．
（2）求过点A、B、C的二次函数的解析式．
（3）在（2）中的二次函数图象上是否存在于不同于点B的点P，使得S_△PAC=S_△ABC？如果存在，请求出P点的坐标；如不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）在解析式中令y=0，即可求得A的横坐标，令x=0，即可求得B的纵坐标，在直角△OAB中，令三角函数求得∠BAO的度数，然后连接OD，在直角△OAD中，利用三角函数求得OD的长，则OC即可求得，从而求得C的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）S_△PAC=S_△ABC，则P的纵坐标与B的纵坐标相等或互为相反数，以及纵坐标，代入函数的解析式即可求得横坐标．

解答：解：（1）在y=-

3

3

x+

2 3

3

中，令y=0，解得：x=2，则A的坐标是（2，0）；
在y=-

3

3

x+

2 3

3

中，令x=0，解得y=

2 3

3

，则B的坐标是（0，

2 3

3

）．
则OA=2，OB=

2 3

3

，
则tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，
∠BAO=30°．
连接OD，
∵直线AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴OD=OA•sin∠BAO=2×

1

2

=1，
∴OC=OD=1，
∴C的坐标是（-1，0）；

（2）设二次函数的解析式是y=a（x+1）（x-2），
把（0，

2 3

3

）代入得：-2a=

2 3

3

，解得：a=-

3

3

．
则二次函数的解析式是：y=-

3

3

（x+1）（x-2）；

（3）在y=-

3

3

（x+1）（x-2）中，令y=

2 3

3

，得：-

3

3

（x+1）（x-2）=

2 3

3

，
解得：x=1或0（舍去），
此时P的坐标是（1，

2 3

3

），
在y=-

3

3

（x+1）（x-2）中，令y=-

2 3

3

，得：-

3

3

（x+1）（x-2）=-

2 3

3

，
解得：x=

1± 17

2

．
则P的坐标是（

1+ 17

2

，-

2 3

3

）或（

1- 17

2

，-

2 3

3

）．
则P的坐标是：（1，

2 3

3

）或（

1+ 17

2

，-

2 3

3

）或（

1- 17

2

，-

2 3

3

）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及圆的切线的性质和三角函数，正确理解P的纵坐标是关键．