Question

【题目】如图①，已知点为正方形的对角线的交点，点是对角线上的一个动点（点不与重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接和.

（1）求证：；

（2）如图②，延长正方形对角线，当点运动到的延长线上时，通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；

（3）若点在射线上运动，，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）仍然成立；证明见解析；（3）OE的长为或.

【解析】

（1）延长EO交CF于点G，易证和，所以，

即点O为EG的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；

（2），仍然成立，延长EO和FC，相交于点G，方法同（1）即可证明；

（3）要分类讨论，①当点P在线段OA上时，易得，所以，在中， ，所以；当点P在线段OA的延长线上时，方法同①即可解答.

（1）证明：如图，延长EO交CF于点G，

∵点O为正方形ABCD的对角线的交点，

，

，

，

，

在和△中，

，

，

，

即点O为EG的中点，

在中，是斜边EG上的中线，

，

；

（2），仍然成立，

证明：如图，延长EO和FC，相交于点G，

∴点O为正方形ABCD的对角线的交点，

，

，

，

在和中，，

，

，

即点O为EG的中点，

在中，

是斜边EG上的中线，

，

仍然成立；

（3）解：①当点P在线段OA上时，如图

，.

易得，

.

在中，

，

；

②当点P在线段OA的延长线上时，如图.

，.

同理可得.

在中，，

，.

综上可知，OE的长为或.