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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线x轴交于AB两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2,点A的坐标为(10).

1)求该抛物线的表达式及顶点坐标;

2)点P为抛物线上一点(不与点A重合),联结PC.当∠PCB=ACB时,求点P的坐标;

3)在(2)的条件下,将抛物线沿平行于轴的方向向下平移,平移后的抛物线的顶点为点D,点P关于x轴的对应点为点Q,当ODDQ时,求抛物线平移的距离.

【答案】1)(2-1)(2)P).(3

【解析】

1)用待定系数法即可求得抛物线的表达式,利用顶点公式即可求得抛物线的顶点坐标;

2)过点PPNx轴,过点CCMPN,交NP的延长线于点M,由点BC的坐标得为等腰直角三角形,利用等量代换证得∠OCA=PCM,利用这对角的正切函数得到MC=3PM,设PM=a,则MC=3aPN=3-a,得P3a3-a)代入抛物线的表达式,即可求得答案;

3)设D的坐标为(2),过点D作直线EFx轴,交y轴于点E,交PQ的延长线于点F,利用∠OED=QFD=ODQ=90°,证得∠EOD=QDF,再根据其正切函数列出等式即可求得答案.

1)∵A的坐标为(10),对称轴为直线x=2,∴点B的坐标为(30

A10)、B30)代入,得

解得:

所以,

x=2时,

∴顶点坐标为(2-1

2)过点PPNx轴,垂足为点N.过点CCMPN,交NP的延长线于点M

∵∠CON=90°,∴四边形CONM为矩形.

∴∠CMN=90°CO= MN

,∴点C的坐标为(03

B30),

OB=OC

∵∠COB=90°

∴∠OCB=BCM = 45°

又∵∠ACB=PCB

∴∠OCB-ACB =BCM -PCB,即∠OCA=PCM

tanOCA= tanPCM

PM=a,则MC=3aPN=3-a

P3a3-a).

P3a3-a)代入,得

解得(舍).∴P).

3)设抛物线平移的距离为m.得

D的坐标为(2).

过点D作直线EFx轴,交y轴于点E,交PQ的延长线于点F

∵∠OED=QFD=ODQ=90°

∴∠EOD+ODE = 90°,∠ODE+QDF = 90°

∴∠EOD=QDF

tanEOD = tanQDF

解得

所以,抛物线平移的距离为

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A.

B.

C.

D. 2

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A.1B.1C.0D.4035

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【题目】阅读材料:各类方程的解法

求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于去分母可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.

转化的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.

(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=x3=

(2)拓展:用转化思想求方程的解;

(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.

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