Question

5．正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接对角线BD交AE于M，交AF于N，求证：以DN、BM、MN为三边的三角形为直角三角形．

Answer 1

分析 延长BC到G，使BG=DF连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH，证得△ABG≌△ADF，△AMN≌△AMH，△DFN≌△BGH，最后利用等量代换求得答案即可．

解答 证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BDC=∠ABD=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ABG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG=∠DAF，∠AFD=∠G，AF=AG，
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AMN和△AMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AH}\\{∠MAN=∠MAH=45°}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴MN=MH，
∵AF=AG，AN=AH，
∴FN=AF-AN=AG-AH=GH，
在△DFN和△BGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BG}\\{∠NFD=∠G}\\{FN=GH}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△BGH（SAS），
∴∠GBH=∠NDF=45°，DN=BH，
∴∠MBH=∠ABH+∠ABD=∠ABG-∠GBH+∠ABD=90°-45°+45°=90°，
∴BM²+DN²=BM²+BH²=MH²=MN²，
∴DN、BM、MN为三边的三角形为直角三角形．

点评 此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．