Question

【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

⑴求证：BE是⊙O的切线；

⑵若BC=，AC=5，求圆的直径AD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6

【解析】

（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；
（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．

解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M

∵BC=BD，

∴∠CAB=∠BAD.

∵OA=OB,

∴∠BAD=∠OBA.

∴∠CAB=∠OBA.

∴OB∥AC.

又AD是直径,

∴∠ABD=∠ACD =90°，

又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.

∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.

又OB是半径,

∴BE是⊙O的切线．

⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.

∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD

设⊙O的半径为r，则

在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;

在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=.

∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).

∴圆的直径AD的长是6．