Question

【题目】已知抛物线y=的图像与轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．

（1）求二次函数的解析式和点D的坐标；

（2）若点M是抛物线在轴下方图像上的一动点，过点M作MN∥轴交线段BC于点N，当MN取最大值时，点M 的坐标；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点D落在x轴上，原抛物线上一点P平移后的对应点为Q，如果∠OQP=∠OPQ，试求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，顶点D（1，﹣4）；（2）点M的坐标为（，）；（3）Q（，2）或（，2）

【解析】

（1）把点A（-1，0），C（0，﹣3）代入解析式求解，然后化为顶点式即可；

（2）由（1）的解析式求出函数与x轴的交点坐标，即可得到B（3,0），根据已知条件求出直线BC的解析式，根据M在二次函数的图像上，N在一次函数图像上，可设两个点的坐标为M ，N，可得MN ，得到关于m的方程，化为顶点式即可得到结果；

（3）先根据顶点在x轴上确定函数平移的距离，再根据∠OQP=∠OPQ得到OP=OQ，即可得到结果．

解：（1）∵抛物线y=经过A（-1，0），C（0，﹣3）;

得;

∴;

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;

∴y=（x﹣1）2﹣4;

∴顶点D（1，﹣4）.

（2）∵y=x2﹣2x﹣3;

当 y=0时，x2﹣2x﹣3=0;

解得 ，;

∴B（3,0）.

设直线BC解析式为y=kx+b（k≠0）;

把B（3，0）、C（0，-3）代入y=kx+b;

可得;

解得：;

∴直线BC解析式为;

设M ，N;

∴MN

;

∴当MN最大时，点M的坐标为（，）．

（3）由（1）可得抛物线顶点坐标D（1，﹣4），根据题意可得抛物线向上平移4个单位长度;

∵点P在原抛物线y=x2﹣2x﹣3上;

∴设P（x, x2﹣2x﹣3）,则Q(x, x2﹣2x+1);

∵∠OQP=∠OPQ;

∴OP=OQ;

∴得到或;

∴Q（，2）或（，2）．