Question

在△ABC中，AC=mAB，∠BDF=∠A，
（1）如图一：当m=1时，猜想BE与CF的数量关系，并证明；
（2）如图二：若∠AEB=α，CF=5，AE=3，求AF的长．（用含m、α的式子表示）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作CH⊥AB于H，BG⊥AC于G，易证∠DFB=∠BEG，可证明△CHF≌△BGE，即可求得CF=BE；
（2）作CH⊥AB于H，BG⊥AC于G，易证△CHF∽△BGE和△AGB∽△AHC，根据相似比可以求得AH和FH的长，即可求得AF的长，即可解题．

解答：解：（1）作CH⊥AB于H，BG⊥AC于G，

∵AB=AC，∴CH=BG，∠ABC=∠ACB，
∵∠A=∠BDF，∠BDF+∠DBF+∠BFD=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DBF+∠BFD=2∠ABC，
∵∠DBF=∠ABC-∠DBC，
∴∠DFB=∠ABC-∠DBC，
∵∠BEG=∠ACB+∠EBC，
∴∠DFB=∠BEG，
∵在△CHF和△BGE中，

∠DFB=∠BEG ∠CHF=∠BGE CH=BG

，
∴△CHF≌△BGE（AAS），
∴CF=BE；

（2）作CH⊥AB于H，BG⊥AC于G，

∵∠AEB=∠ACF+∠CDE，∠CDE=∠BDF，
∴∠AEB=∠ACF+∠BDF，
∵∠BFC=∠A+∠ACF，∠BDF=∠A，
∴∠AEB=∠BFC，
∵∠BGE=∠CHF=90°，
∴△CHF∽△BGE，
∴

GE

FH

=

BG

CH

，
∵∠A=∠A，∠AGB=∠AHC=90°，
∴△AGB∽△AHC，
∴

BG

CH

=

AG

AH

=

AB

AC

，
∵AC=mAB，∴CH=mBG，
∵CF=5，∠CFH=α，
∴CH=5sinα，FH=5cosα，EG=BGcotα，
∴AG=AE-EG=3-BGcotα=3-

CH

m

cotα=3-

5sinα

m

cotα=3-

5cosα

m

，
AH=m（3-

5cosα

m

）=3m-5cosα，
∴AF=AH-FH=3m-5cosα-5cosα=3m-10cosα．

点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求得△CHF≌△BGE和△AGB∽△AHC是解题的关键．