Question

3．关于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数时，求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象；
（3）若P（a，y₁），Q（2，y₂）是（2）中抛物线上的两点，且y₁＞y₂，请你结合函数图象确定实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当k=0时，方程变形为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，计算判别式得到△=（3k-1）²，由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；
（2）先由因式分解得到kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=-3，则二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为-$\frac{1}{k}$和-3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值；
（3）代入点Q（2，y₂）得出y₂，进一步求得点Q的对称性得出对称点，结合（2）中的图象得出答案即可．

解答 （1）证明：当k=0时，方程变形为x+3=0，解得x=-3；
当k≠0时，△=（3k+1）²-4•k•3=（3k-1）²，
∵（3k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）
（kx+1）（x+3）=0，
解得：x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=-3，
所以二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为-$\frac{1}{k}$和-3，
根据题意得-$\frac{1}{k}$为整数，且k为负整数
所以整数k=-1；
二次函数为y=-x²-2x+3；
函数图象如下：

（3）解：把点Q（2，y₂）代入y=-x²-2x+3得y₂=-5，
则点Q的对称点为（-4，-5），
由图象可知：当-4＜a＜2时，y₁＞y₂．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系．