Question

已知抛物线y=ax²+（

4

3

+3a）x+4的开口向下，与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）用a表示出点A、B、C的坐标；
（2）用a表示出线段AB、BC、AC的长；
（3）如果△ABC是等腰三角形，求a的值；
（4）该抛物线是否关于y轴对称？

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）分别令y=0、x=0可求出A、B和C的坐标；
（2）可利用A、B坐标可求得AB，在Rt△AOC和Rt△BOC中利用勾股定理可分别表示出BC、AC的长度；
（3）分AB=AC、AB=BC和AC=BC三种情况得到a的方程，可求得a的值；
（4）可求得其对称轴，令其为0可求得a，即可以关于y轴对称．

解答：解：（1）在抛物线y=ax²+（

4

3

+3a）x+4中，
令y=0可得ax²+（

4

3

+3a）x+4=0，解得x=-3或x=-

4

3a

，
令x=0可得y=4，
∴A（-3，0），B（-

4

3a

，0），C（0，4）；
（2）∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∴由（1）可得AB=-

4

3a

+3，AC=

AO2+CO2

=

32+42

=5，BC=

BO2+CO2

=

(- 4 3a )2+42

；
（3）当△ABC为等腰三角形时有三种情况：
①当AB=AC时，即-

4

3a

+3=5，解得a=

1

6

；
②当AB=BC时，即-

4

3a

+3=

(- 4 3a )2+42

，解得a=-

8

7

；
③AC=BC时，即

(- 4 3a )2+42

=5，解得a=

4

9

（舍去）或a=-

4

9

；
综上可知当a为-

2

3

或-

8

7

或-

4

9

时，△ABC为等腰三角形；
（4）其对称轴方程为x=-

4 3 +3a

2a

，令其为0，即

4 3 +3a

2a

=0，解得a=-

4

9

，
∴只有当a=-

4

9

时，该抛物线关于y轴对称．

点评：本题主要考查二次函数与坐标轴的交点和等腰三角形的性质、勾股定理等知识的应用．用a表示出A、B、C三点的坐标是解题的关键，在（3）中注意分三种情况讨论，注意勾股定理的应用．