Question

如图，抛物线y=ax²+bx+8与x轴交于点A（-2，0）、点B，与y轴交于点C，顶点为D，OC=2OB，求
（1）抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点N，使得直线ON将△BOC的面积分成相等的两部分，求点N的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）根据已知求得B、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）先求得BC的中点坐标，然后求得经过中点和原点的直线，和抛物线的解析式联立方程，求得方程组的解即可求得N的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+8与y轴交于点C，
∴C（0，8），
∵OC=2OB，
∴B（4，0）
∵抛物线y=ax²+bx+8与x轴交于点A（-2，0）、点B，
∴

4a-2b+8=0 16a+4b+8=0

，
解得

a=-1 b=2

．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8；
（2）设BC的中点为E，
∵B（4，0），C（0，8），
∴E（2，4），
设直线OE的解析式为y=kx，
∴4=2k，解得k=2，
∴直线OE的解析式为y=2x，
∴

y=2x y=-x2+2x+8

，
解得

x=2 2 y=4 2

或

x=-2 2 y=-4 2

．
∴N的坐标为（2

2

，4

2

）或（-2

2

，-4

2

）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是求得BC的中点坐标，进而求得经过中点和原点的直线．