Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AC上，AD=AE，∠BAD=30°．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若∠B=30°，请判断△ADE的形状，并写出证明过程；
（3）若∠B=45°，请判断△ADE的形状，直接写出结论，不必写出写出证明过程．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．
（2）根据外角的性质求得∠ADC=60°，进而求得∠ADE=∠AED=45°，从而证得△ADE是等腰直角三角形；
（3）根据外角的性质求得∠ADC=75°，进而求得∠ADE=∠AED=60°，从而证得△ADE是等边三角形．

解答：解：（1）设∠EDC=x，∠B=∠C=y，
∠AED=∠EDC+∠C=x+y，
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=x+y，
则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴2x+y=y+30，
解得x=15，
∴∠EDC的度数是15°．
（2）△ADE是等腰直角三角形；
∵∠BAD=30°，∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∵∠EDC=15°，
∴∠ADE=45°，
∵AD=AE，
∴∠AED=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形；
（3）△ADE是等边三角形；
∵∠BAD=30°，∠B=45°，
∴∠ADC=75°，
∵∠EDC=15°，
∴∠ADE=60°，
∵AD=AE，
∴∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形；

点评：本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边；（1）正确确定相等关系列出方程是解题的关键．