【题目】已知:如图DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC⊥AB于C,∠1=∠2,试说明DO⊥AB.
【答案】详见解析
【解析】
由DE与BO都与AO垂直,利用垂直定义得到一对直角相等,利用同位角相等两直线平行得到DE与BO平行,利用两直线平行得到一对内错角相等,再由已知的一对角相等,等量代换得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行即可得到CF∥DO,则DO⊥AB.
如题中图.
∵ DE⊥AO,BO⊥AO(已知),
∴ DE//BO(垂直于同一直线的两直线平行),
∴ ∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).
又∵ ∠1=∠2(已知),
∴ ∠1=∠3(等量代换),
∴ CF//DO(同位角相等,两直线平行),
∴ ∠ODB=∠FCB(两直线平行,同位角相等).
∵ FC⊥AB(已知),
∴ ∠FCB=90°(垂直定义),
∴ ∠ODB=90°(等量代换),
∴DO⊥AB(垂直定义)
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且BC=CD ,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.
(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.
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【题目】如图,长方形AOCB的顶点A(m,n)和C(p,q)在坐标轴上,已知和都是方程x+2y=4的整数解,点B在第一象限内.
(1)求点B的坐标;
(2)若点P从点A出发沿y轴负半轴方向以1个单位每秒的速度运动,同时点Q从点C出发,沿x轴负半轴方向以2个单位每秒的速度运动,问运动到多少秒时,四边形BPOQ面积为长方形ABCO面积的一半;
(3)如图2,将线段AC沿x轴正方向平移得到线段BD,点E(a,b)为线段BD上任意一点,试问a+2b的值是否变化?若变化,求其范围;若不变化,求其值.(直接写出结论)
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【题目】如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长,易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题:
写出一个“勾系一元二次方程”;
求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0必有实数根;
若x=1是“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0的一个根,且四边形ACDE的周长是,求△ABC面积.
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【题目】周末小丽从家里出发骑单车去公园,因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道,所以小丽骑得特别放松.途中,她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水,耽误了一段时间后继续骑行,愉快地到了公园.图中描述了小丽路上的情景,下列说法中错误的是( )
A.小丽在便利店时间为15分钟
B.公园离小丽家的距离为2000米
C.小丽从家到达公园共用时间20分钟
D.小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=12cm,BC=9cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当经过1秒时,△BPD与△CQP是否全等,请判断并说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD≌△CPQ?
(2)若点Q以②的运动速度从点C出发,点P以原来运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC的三边运动,求经过多长时间,点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上会相遇?
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【题目】(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.
(1)请直接写出抛物线的解析式;
(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值. 进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确,并说明理由;
(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
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【题目】超市用2500元购进某品牌苹果,以每千克8元的单价试销.销售良好,超市又安排4500元补货.补货进价比上次每千克少0.5元,数量是上次的2倍.
(1)求两次进货的单价分别是多少元.
(2)当售出大部分后,余下200千克按7.5折售完,求两次销售苹果的毛利.
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【题目】点A(1,4)和点B(5,1)在平面直角坐标系中的位置如图所示:
(1)点A1、B1分别为点A、B关于y轴的对称点,请画出四边形AA1B1B,并写出A1、B1的坐标;
(2)在(1)的条件下,画一条过四边形AA1B1B的一个顶点的线段,将四边形AA1B1B分成两个图形,并且使分得的图形中的一个是轴对称图形.
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